النهايات و الاشتقاق

تقدير البيانات جبريا 

1- https://www.youtube.com/watch?v=ZfaBj7VkBHo
2- https://www.youtube.com/watch?v=u2TQIGFNL_8
3- https://www.youtube.com/watch?v=d7pv8tRqyqM
4- https://www.youtube.com/watch?v=pM88dSmS3rE
5-https://www.youtube.com/watch?v=bQiKz08xYds
6- https://www.youtube.com/watch?v=i3FEL8YwIw8
7-https://www.youtube.com/watch?v=nOflu5dHoUk
8-https://www.youtube.com/watch?v=JemMU4Afr68
9-https://www.youtube.com/watch?v=t2shBcRQkcA
10-https://www.youtube.com/watch?v=fZ5JkIMY3OY
11-https://www.youtube.com/watch?v=BXr-LfMK00c
12-https://www.youtube.com/watch?v=ynXs6MZl054
13-https://www.youtube.com/watch?v=v7xCEqWl5tI
14-https://www.youtube.com/watch?v=sF9rmtYA9c8
15-https://www.youtube.com/watch?v=dDaxhlVzZPg
16-https://www.youtube.com/watch?v=-EBv-U9W8Kc
17-https://www.youtube.com/watch?v=g0Q1yYrzOjs
18-https://www.youtube.com/watch?v=iYZ_x-yn7R8
19-https://www.youtube.com/watch?v=dcOKRE397ZA
20-https://www.youtube.com/watch?v=H3ZYgd1Zlkc
21-https://www.youtube.com/watch?v=K3Rv7bj5TOw
22-https://www.youtube.com/watch?v=EOR_s_7xIyI
23-https://www.youtube.com/watch?v=__GAgIOEEfo
24-https://www.youtube.com/watch?v=URwLYuwYF9w
25-https://www.youtube.com/watch?v=ln_0zfsh6So
26-https://www.youtube.com/watch?v=AmtN7_lGhIM
27-https://www.youtube.com/watch?v=lLpvz5Ju9B4
28-https://www.youtube.com/watch?v=ifbS1dMwfkE
29-https://www.youtube.com/watch?v=TlcrqqeQBoo

                                          ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تقدير النهايات جبيريا

1-https://www.youtube.com/watch?v=BuQFIJ9H9Qw
2-https://www.youtube.com/watch?v=xp-k5am7WjM
3-https://www.youtube.com/watch?v=s6Fk4Q4XVVQ
4-https://www.youtube.com/watch?v=u7kA3342HDc
5-https://www.youtube.com/watch?v=QT2nMeNDQa4
6-https://www.youtube.com/watch?v=jyzmr8R6aIw
7-https://www.youtube.com/watch?v=_Wq2kr7wlOw
8-https://www.youtube.com/watch?v=lvmdcGA2WvE
9-https://www.youtube.com/watch?v=X78JdRzbA74
10-https://www.youtube.com/watch?v=_RQeYmAwLTA
11-https://www.youtube.com/watch?v=yI-UlzqSlE0
12-https://www.youtube.com/watch?v=fZZITaH0lT0
13-https://www.youtube.com/watch?v=U-m_KtIIk6A

                                                ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المماس و السرعة المتجهه 

1- http://www.ifahem.com/showthread.php?t=855

                                              ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المشتقات 

1-  http://www.d-math1.com/1/index.php?f=3_3_2_4_(8-6)

• ملخص قوانين الإشتقاق 

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxmY2lzYXN1YmlvaW5mb3JtYXRpY3MxNDE4fGd4OjJkYTdmOTJhMDRmMGNiYzk

                                             ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

المساحه تحت المنحنى و التكامل 

1- http://www.d-math1.com/1/index.php?f=3_3_2_4_(8-7)

• التكامل 

في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.

وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل.

بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.

يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين: x=a,x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:

${\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\},}$

ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,}$.

النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة ${\displaystyle f(x)\,}$ ومحور السينات(x) ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات(y) والمستقيم X=xx، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هو الدالة ${\displaystyle f(x)\,}$ نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة ${\displaystyle f(x)\,}$.

يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.

وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).

يوجد عدة أنواع للتكامل منها: التكامل بالتجزئ ،تكامل بالتعويض، التحويل إلى الكسور الجزئية، الاختزال المتتالى

تاريخ

•  مقالة مفصلة: تاريخ علم التفاضل والتكامل

التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل[عدل]

توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكو الرياضية على علمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل أرخميدسوتم استعمالها في حساب مساحات القطع المكافئ والتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليوهوي، والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن تسوتشونغ وزوجنغ لإيجاد حجم الكرة.^[1] في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي اريابهاتا طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.^[2]

أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي الحسن بن الهيثم ما يعرف اليوم باسم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.^[3] بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكيالهندي بهاسكارا 2.

لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا.^[4] كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.

نيوتن وليبنز

مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل. فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن  استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العملالتفاضل والتكامل الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.

صياغة التكاملات

مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهاياتوتوطدت أركانه بفضل أوغستين لويس كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.

العلامة

استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع ${\displaystyle {\dot {x}}}$ و${\displaystyle x'\,\!}$, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات. الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:${\displaystyle \int \,}$, بعد إطالته للحرف s كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).

الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.(W3C 2006).

مقدمة

تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.

ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1?للبدء, اعتبر المنحنى${\displaystyle y=f(x)\,}$ بين x = 0 وx = 1, و${\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}$. يكون السؤال:

ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f. يكون الرمز لهذا التكامل هو:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}$

كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و${\displaystyle y=f(x)\,}$ nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه. بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, ¹⁄₅,²⁄₅, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه ¹⁄₅√, ²⁄₅√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}$

لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من العديد من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى متناهية في الصغر. بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x^1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي F(x) = ²⁄₃x^3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل f(x) = x^q, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي ${\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}$ وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}$

تعريفات منهجية

هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.

تكامل ريمان

•  مقالة مفصلة:

وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذو الفترة الجديدة [x_i−1, x_i]، حيث أن i يعتمد على عدد الأجزاء, كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة t_i التي تنتمي للفترة [x_i−1, x_i]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحو التالي:

و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى, ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ_i = x_i−x_i−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكي يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية, التي لها القيمة القصوى _i=1…n Δ_i. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S: فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}$

تكامل لوبيغ

تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة

لتكن ${\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}$ نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu }$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}$ حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة ${\displaystyle \phi }$ التي تحقق ${\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}$ إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس ${\displaystyle \mu }$ على أنه العدد الحقيقي الممتد ${\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }$ إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة ${\displaystyle f{{\chi }_{E}}}$.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.

تكامل أخرى

خواص التكامل

من خواص التكامل (المحدد) :

• إذا كانت n ${\displaystyle \ni }$ مجموعة الأعداد الحقيقية وكانت ${\displaystyle f}$ قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f}$ قابلة للتكامل على الفترة ${\displaystyle [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}$

وإذا كانت ${\displaystyle b>a}$ فإنت :

${\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

• إذا كانت الدالة ${\displaystyle f}$ قابلة على التكامل على ${\displaystyle c\in [a,b]}$و${\displaystyle [a,b]}$ فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}$

• إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ و${\displaystyle f(x)\geq 0}$ على هذه الفترة فإن :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}$

• إذا كانت الدالتان ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ قابلتين للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ فإن الدالة ${\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}$ تكون قابلة للتكامل على ${\displaystyle [a,b]}$ 

                                     ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

النظرية الاساسية في التفاضل و التكامل

1-  http://www.d-math1.com/1/index.php?f=3_3_2_4_(8-8) 

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل.

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد  اشتقاقاتها العكسية الغير محدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية له أهمية كبيرة عمليا لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

الصيغ الأساسية

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

عندئذ :

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

من أجل كل قيمة ل x في (a, b).

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)عندئذ :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

النتيجة

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)

عندئذ

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt+F(a)}$

و

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt}$.

مثال

لنحسب التكامل التالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x.}$

هنا لدينا ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$، أي يمكن إستعمال ${\displaystyle F(x)={\dfrac {x^{4}}{4}}}$ كمشتق عكسي. بالتالي:

$$

$$